第一百四十章 题目越短难度越大

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11月14日,数学国决第一试正式开始。

一共只有三个题目,限时四个半小时完成。

在全部都是顶尖学子的国决里,每一题的含金量不可谓不高。

甚至可以说,从国决开始乃至世界奥数,和以前的省赛已经完全不是一个档次。

教室里很安静。

苏牧轻轻的弹开了试卷,铺平了草稿纸。

第一题,是一个最值题。

设a,b,c,d,e≥-1,满足a+b+c+d+1=5,求S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)的最大值和最小值。

题目很短很短,甚至字符也就那么几个,但是苏牧却顿时感受到了一阵压力。

在普通的考试里面,很短的题目很可能是送分题,但是在奥数,尤其是在奥数国赛上,题目越短意味着能得到的信息更少,难度也就更大!!

S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)

苏牧看着题目,头次感受到了曾经作为学渣的熟悉感,他竟然不知道如何下笔。

展开是不可能展开的,涉及到了五元方程,就算是展开也没什么特别大的用处,肯定是有其他的方法。

看到这个第一题,考场里的其他考生们也大多倒吸了一口冷气,有些已经开始冒出冷汗,有些人镇定着看向了第二个题目,有些人可能是灵光一闪,直接动笔,但是下一刻,眼里的灵光顿时黯淡了不少。

苏牧仔细的观察了一下题目的前两个条件,脑海里闪过了平均值原理这个概念。

先求最大值,显然S取最大值的时候为正值,因为a+b+c+d+1=5,由平均值原理可以得知,abcde中至少有一个数字大于等于1,每个符号都出现了两次,因此,a+b,b+c,c+d,d+e,e+a,中至少会出现两个非负数值。

如果S取到正值的话,那么这五个数里面可能有0个或者2个负数两种情况。

如果没有负数,有均值不等式可以得知S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≤【(a+b+b+c+c+d+d+e+e+a)/5】^5=32

如果有负数....

苏牧顿了顿,如果有负数....

如果有负数...

苏牧觉得自己的思路应该是没有问题的,但是这个如果有负数的情况,他还真不知道该如何解决。

果然,以六级数学的水平来参加数学国决,还是太艰难了些。

足足想了十多分钟,苏牧愣是没有想出如果有负数的情况该如何去做。

做数学题,最难受的时候就是卡在这种地方,虽然说整个一试只有三个题目,虽然说足足有四个半小时的时间去给苏牧思考。

但是,在数学的世界里。

想不到那一点,卡个好几天都是非常正常的事情!

苏牧放下了手中的笔,深吸了一口气。

果然全国赛就是全国赛,连他这种级别的学霸都出师不利。

其实他现在可以先去看看后面的两道题目,缓解一下思维再来做第一题。

但是苏牧莫名的有一种强迫症,非得先把这一题做出来再说。

如果有负数....

妈的。

有负数不是很正常吗。

事情又回到了那个循环,苏牧构建了七八个方程去解释如果有负数的情况,但是却没有一个能起到实质性的作用。

虽然说他现在可以直接用技能点将数学提升到七级或者八级,但是苏牧却还是有些不服输。

如果万事都只能靠系统来解决,那么他每天练习这么多的奥数题意义在于什么呢??

难不成真就万事不决技能点??

苏牧再次拿起了笔,他不相信自己没办法找出解决思路。

虽然知道他自己现在有些钻牛角尖了。

但是明明只是abcde合为一这么简单的式子,他还非就不信这个邪!!

又是二十分钟过去了。

苏牧设了整整一页纸的方程,近二十种特殊赋值。

依旧没有取得很好的成果,但是苏牧却影约之间抓到了一条线,只要把这条线的条理理清楚,就一定能够完美的做出来!!

如果有负数,那么就再分几种情况讨论,假设负的两项的值为x,和y,正的三项分别为P,Q,R,那么,x,y,均大于等于-2,且P+Q+R≤14.

如果P、Q、R中两项不相邻,因为五个数的和为5且任意一个数值大于等于-1,那么它们的和就小于等于6,且在PQR有两项不相连的情况下,必有两项的和小于等于6。

在坚持了接近一个小时之后,苏牧的背后已经被汗水浸湿,终于找到了一个稍微有那么点可行性的方程讨论组!!!

而且,根据苏牧对于数学的直觉理解,他依旧认为自己思路并没有问题!!

只要坚持下去,一定可以凭借自己的实力把这道题写出来!!

考场里陆陆续续有学生喝水的声音,所有人都认认真真的答着题目。

监考老师们各尽其责,对于这些奋斗着的学生们表示敬意。

“!”

突然,苏牧的脑海里闪过了一道思绪,连忙用笔记了下来。

“假设P≤Q≤R,那么P+Q≤6,因此PQR≤PQ(14-P-Q)≤【(P+Q)/2】^2(14-P-Q)。

“记f(x)=x^(14-x),则求导为f’(x)=28x-3x^2。”

可能是因为足足憋了一个多小时,当思路涌现过来的时候,苏牧手中的笔一发不可收拾,完全陷入了一种解题的快感之中!!

对,就是这样的!

苏牧的眼里闪过一丝光芒!

“当x≤6时,f’(x)≥0,因此【(P+Q)/2】^2(14-P-Q)≤72”

“固xyPQR≤288,且当abcde分别为4,-1,-1,-1,4时可以取等!最大值为288。”

苏牧整个人都振奋起来,在一个小时二十分钟的时候做出了第一题第一问!!

他很想在最后的288后面很想打一个感叹号,但是又想到“!”的意义可以代表着阶乘,所以最终只写上了一个句号作为结尾。

太艰难了。

数学为什么这么难啊。

苏牧又悲又喜,悲的是因为题目真的很难了,喜的是这个题目,终于被苏牧给攻克。

这种巨大的成就感。

甚至要比他获得一个技能点还要强烈!!

解决了最大值,最小值的思路也就畅通了许多。

显然S取最小值时S值为负数,若S取到负数,则....

....

固xyPQR≥-512时,abcde分别取-1,-1,-1,-1,9时可以取等。

根据题意,S的最大值为288,最小值为-512。

第一题。

完美收工!!!

.....

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