“本科阶段的泛函分析我们以学习线性泛函分析分析为主，非线性泛函分析一般要等到研究生阶段才开始学习。线性泛函分析主要内容，归纳起来，就是我们常说的一王一后以及四大天王。一王一后就是贝尔纲定理和Hahn-Banach定理，四大天王分别是开映射定理，闭图像定理， Banahaus定理，闭值域，Mazur定理……”

这是一堂复习课，那老师也不多话，直接在课堂上开讲：“今天，我们就从一王一后以及四大天王入手，梳理本学期所学过的相关知识点，包括闭算子的谱分析，对称算子的自伴延，算子半群理论，线性单调算子，算子代数……”

庞学林在座位上打了个哈欠，他居住的那个招待所隔音效果一般，昨晚没睡好，这几天又一直在赶路，他着实有些累了。再加上老师讲课时还带了部分方言口音，语气不温不火，虽然讲的内容没什么问题，但还是让人感觉犯困。

庞学林不知不觉闭上了眼。

也不知过了多久，庞学林突然被一阵喧闹声吵醒。

他有些茫然地睁开眼，便发现教室里不少学生正用戏谑的眼神看着自己。

讲台上，那位秃顶教授正朝自己所在的方向说话：“那位穿军绿大衣的同学，上课时间睡得这么香，看样子你应该什么都会了吧，你过来过来，帮我解一解这道题……”

庞学林环顾四周，然后有些茫然地指了指自己：“老师，我吗？”

“对，说的就是你！快点上来，帮我把黑板上这道题解了……”

“老师，我不是……”

“你上不上来？不上来的话就给我出去，不过你这门课也别想考了。”

“这……好吧！”

庞学林犹豫了片刻，还是选择起身。

他原本想着等下课之后找这个教授套套话，问一下几大期刊的地址。

现在如果直接出去，那可真把人家给得罪了。

庞学林走上讲台，众人这才看清楚他那一身装扮。

一身破旧的军大衣，里面隐约可以看到黑色的棉布袄，布袄领子口的线头掉了，露出小半截棉花。

他脚上踩着一双黑布鞋，但几天赶路下来，原本浆洗干净的布鞋早就变脏兮兮不成样了。

这个年代，大学生还是天之骄子，就算家里再穷，也有几身用来对换的体面衣服。

如果不是庞学林本身气质形象都不错，就他这副衣着打扮，早就被人当做是农村出来的盲流了。

“这人是哪班的啊？以前怎么没见过，这身打扮够可以啊！”

“老王的课都敢睡觉，这家伙胆子真大。”

“我估计他已经放弃临时抱佛脚的念头了，泛函分析太tm难了，老王讲课口音又重，我都犯困想睡觉了……”

……

台下的学生们议论纷纷，一个个好奇地看着庞学林。

王崇庆看着庞学林的装扮，皱了皱眉，说道：“同学，这道题，你来解吧！”

庞学林点了点头，看着黑板上的题目。

【设E， F是两个Banach空间，令 A:D(A)?E→F为一个闭算子，且 D(A)ˉ=E。求证：D(A?)ˉσ(F′，F)=F′D(A?)ˉσ(F′，F)=F′。

其中 A?是A的伴随算子，F′是F的对偶空间，σ(F′，F)为F′上的弱*拓扑， D(A?)ˉσ(F′，F)表示 D(A?)在弱*拓扑σ(F′，F)下的闭包。】

将题目浏览完，庞学林几乎没怎么思考，直接开始在下面写下答案。

【结论 1：设F是E的子向量空间满足Fˉ≠E.则存在 f∈E'不为 0，使得(f，x)=0，?x∈F。

结论2：设?:E′→R是线性映射，且对拓扑σ(E′，E)连续，则存在 x∈E使得?(f)=(f，x)，?f∈E′。

证明：设?是F′上对拓扑σ(F′，F)连续的线性泛函，在D(A?)上取值为0。由结论1，为证弱*拓扑下的稠密性，只需证明?≡0。

由结论 2，存在x∈F使得……】

庞学林的书写速度很快，整个证明过程几乎没怎么停顿，只用了不到两分钟，就完成了答题工作。

“老师，答完了，应该没什么问题吧？”

王崇庆有些出神，这道题在泛函分析中，算的上是压轴大题了，对本科生而言，有一定难度。

他原本都准备等庞学林答不出来的时候，再好好教训他一番，可没想到到这家伙的基础似乎还不错，竟然眨眼间就给出了证明。

无论是证明思路还是过程，都简洁明了，几乎无懈可击。

台下，也响起了学生们的议论声。

“这家伙到底是谁啊，深藏不漏呀！”

“这道题我一直没什么思路，没想到他竟然这么快就给解出来了。”

“看样子我们数学系牛人还挺多的。”

……

不少人纷纷将目光聚焦到庞学林身上。

王崇庆脸色微沉，上课睡觉，就算成绩再好也不行，他可不想轻易放过这家伙。

他想了想，说道：“这位同学，看来你的基础不错，那你就给大家讲讲，你对泛函分析这门课的理解吧。”

泛函分析本质上属于高度抽象化的一门课程，这也是它难学的原因，就算让一位博士上台，也不一定能完完整整地将自己对这门课的理解描述出来。

王崇庆嘴角微微翘起，他可不相信一个本科生有这样的能耐。

“老师，你确定……让我来讲课？”

庞学林笑了起来。

“确定！”

王崇庆隐隐感觉到对方的笑容中有点诡异，不过他还是点了点头。

庞学林道：“既然如此，那我就从泛函分析这门课的历史开始说起吧。”

“众所周知，泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期，本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说，数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了，特别是把它和调和分析放在一起的时候，很难分清楚什么叫做调和分析，什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义，而是关注它的基础和未来的发展趋势。”

“我们首先讨论一些早期的抽象分析，尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化，使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、Fredholm， Hilbert关于积分方程的工作；二、Volterra 和Hadamard 关于动量问题的研究；三、Lebesgue， Frechet 和 Riesz 在抽象空间上的工作以及最后，Hahn 和Banach关于对偶这个概念的研究……”